Dinamika Rotasi (Fisika)

 Dinamika Rotasi dan Keseimbangan Benda Tegar

• _{Menentukan koordinat titik berat suatu benda.}

1. 1. Gerak Translasi dan Rotasi

Indikator :

• Gerak translasi dan gerak rotasi dirumuskan secara kuantitatif
• Pengaruh torsi diformulasikan pada kasus pengaruh torsi pada benda dalam kaitannya dengan gerak rotasi benda tersebut
• Dibuat analogi hukum II Newton tentang gerak translasi dan gerak rotasi
  

Pernahkah Anda melihat permainan roller coaster di pekan raya? Kereta meluncur dan berputar menurut sumbu putaran tertentu. Pernahkah Anda melihat katrol? Sebuah alat yang dapat berputar dan memberikan keuntungan mekanik. Benda yang berotasi pasti ada momen gaya yang bekerja pada benda itu.

Gambar:

Katrol

A. Momen Gaya

Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah poros jungkat-jungkit. Pada katrol yang berputar karena bergesekan dengan tali yang ditarik dan dihubungkan dengan beban.

Momen gaya adalah hasil kali gaya dan jarak terpendek arah garis kerja terhadap titik tumpu. Momen gaya sering disebut dengan momen putar atau torsi, diberi lambang t (baca: tau).

Gambar:

Menarik beban menggunakan katrol

t = F . d

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Momen gaya yang menyebabkan putaran benda searah putaran jarum jam disebut momen gaya positif. Sedangkan yang menyebabkan putaran benda berlawanan arah putaran jarum jam disebut momen gaya negatif.

Gambar:

Skema permainan jungkat jungkit

Titik 0 sebagai titik poros atau titik acuan.

Momen gaya oleh F₁ adalah t₁ = + F₁ . d₁

Momen gaya oleh F₂ adalah t₂ = – F₂ . d₂

Pada sistem keseimbangan rotasi benda berlaku resultan momen gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ t = 0

Pada permainan jungkat-jungkit dapat diterapkan resultan momen gaya = nol.

∑ t = 0

- F₂ . d₂ + F₁ . d₁ = 0

F₁ . d₁ = F₂ . d₂

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol, sehingga dirumuskan:

∑ F = 0

Pada mekanika dinamika untuk translasi dan rotasi banyak kesamaan-kesamaan besaran yang dapat dibandingkan simbol besarannya.

Perbandingan dinamika translasi dan rotasi

Translasi		Rotasi
Momentum linier	p = mv	Momentum sudut*	L = I
Gaya	F = dp/dt	Torsi	 = dL/dt
Benda massa Konstan	F = m(dv/dt)	Benda momen inersia konstan*	 = I (d/dt)
Gaya tegak lurus terhadap momentum	F =  x p	Torsi tegak lurus momentum sudut	 =   L
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Energi kinetik	Ek = ½ I2
Daya	P = F . v	Daya	P =  . 

Analogi antara besaran translasi dan besaran rotasi

Konsep	Translasi	Rotasi	Catatan
Perubahan sudut	s		s = r.
Kecepatan	v = ds/dt	 = d/dt	v = r.
Percepatan	a = dv/dt	 = d/dt	a = r.
Gaya resultan, momen	F		 = F.r
Keseimbangan	F = 0	 = 0
Percepatan konstan	v = v0 + at	 = 0 + t
	s = v0t = ½ at2	 = 0t + ½t2
	v2 = + 2as	2 = + 2
Massa, momen kelembaman	m	I	I = miri2
Hukum kedua Newton	F = ma	 = I
Usaha	W =  F ds	W =   d
Daya	P = F.v	P = I 
Energi potensial	Ep = mgy
Energi kinetik	Ek = ½ mv2	Ek = ½ I2
Impuls	 F dt	  dt
Momentum	P = mv	L = I

^Contoh

_F2

₃₀^o

_{O A}

_{B 37}^o

^F₁

Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak

OA = 4m dan OB = 8 m, gaya F₁ = 10 N, dan F₂ = 6 N.

Jawab

Pada sistem keseimbangan translasi benda berlaku resultan gaya selalu bernilai nol,

Untuk gaya F₁

r₁ = OB = 8 m

^{Besar momen gaya} t₁ = ^F₁ ^sin ₁. r₁

= 10 . sin 37. 8

= 10 . 0,6 . 8

= 48 N.m

Arah momen gaya t₁ searah perputaran jarum jam

Untuk gaya F₂

r₂ = OA = 4 m

^{Besar momen gaya} t₂ = ^F₂ ^sin ₂. r₂

= 6 . sin 30. 4

= 6 . 0,5 . 4

= 12 N.m

Arah momen gaya t_{2 berlawanan arah} perputaran jarum jam

Momen gaya total adalah

t = t₂ + t₂

= 48 + 12

= 60 Nm

_{Momen Kopel}

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel yang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel disimbolkan M

_{F F F} ^-

₊

M F d

_{d d d}

^{F F} F

_{(a) (b) (c)}

Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk

gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putarannya searah

dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c).

Jika pada benda bekerja beberapa kopel maka resultan momen kopel total benda tersebut adalah

M = M₁ + M₂ + M₃ + … + M_n

Contoh

_F4

^F₁

^P _{1m 2m 1m}

Q

F₃

F₂

_Jawab:

Batang PQ panjangnya 4m. Pada batang tersebut bekerja empat buah gaya F₁ = F₃ = 5 N, dan F₂ = F₄ = 8 N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut.

Gaya F₁ dan F₃ yang berjarak d = 3m membentuk kopel yang arahnya searah perputaran jarum jam (+) dan besarnya:

^M ₁ = ^{F x d} = 5 x 3 = 15 N m

Gaya F₂ dan F₄ yang berjarak d = 3 m membentuk kopel yang arahnya berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan _besarnya:

^M ₂ = ^{F x d} = 8 x 3 =  24 N m

_{Resultan momen kopel adalah:}

M = M₁ + M₂

= 15 + (  24)

=  9 N m

Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan

arahnya berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

_{Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan}

Jika terdapat beberapa gaya yang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponennya pada sumbu-X dan sumbu-Y. Misalkan, komponen-komponen gaya pada sumbu-X adalah ^F_1x^{, F}_2x^{, F}_3x^,…,F_nx^{, yang jaraknya masing-masing terhadap} sumbu-X adalah ^y₁^{, y}₂^{, y}₃^,…,y_n ^.

^{Sedangkan komponen-}komponen gaya pada sumbu-Y adalah ^F_{1 y} ^{, F} _2y ^{, F} _3y ^{, …,F}_ny ^, yang jaraknya masing-masing terhadap sumbu-Y adalah x₁, x₂, x₃,…,x_n . Semua komponen gaya pada sumbu-X dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F _x yang jaraknya y_o dari sumbu-X, demikian juga semua komponen gaya pada sumbu-Y dapat digantikan oleh sebuah gaya resultan F _y yang jaraknya x_o dari sumbu-Y.

^{Koordinat titik tangkap dapat ditentukan dengan persamaan sebagai berikut.}

x_o = =

y_o = =

Jadi koornitat titik tangkap (x_o,y_o)

_Contoh

Y

F₂=5N

F₃=7N

_X

Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan.

_{-3 -1} 0 2 ³

F₁=-3N

^F₄^=-2N

Jawab

Semua gaya sejajar sumbu-Y, gaya ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaya adalah:

F_y = F₁ + F₂ + F₃ + F₄

= -3 + 5 + 7 – 2 = 7 N (arah ke atas)

_{Letak titik tangkap gaya resultan adalah:}

x_o =

x_o =

x_o =

1. Momen Inersia Benda Tegar

Benda tegar adalah benda padat yang tidak berubah bentuk apabila dikenai gaya luar. Dalam dinamika, bila suatu benda tegar berotasi, maka semua partikel di dalam benda tegar tersebut memiliki percepatan sudut  yang sama. Momen gaya atau gaya resultan gerak rotasi  didefinisikan sebagai berikut.

”Apabila sebuah benda tegar diputar terhadap suatu sumbu tetap, maka resultan gaya putar (torque, baca torsi) luar terhadap sumbu itu sama dengan hasil kali momen inersia benda itu terhadap sumbu dengan percepatan sudut”.

Dirumuskan sebagai berikut.

 =  F_i R_i Sin _i atau  = (  m_i R² _i ) ^. 

m_i R_i² disebut momen inersia atau momen kelembaman benda terhadap sumbu putar, yaitu penjumlahan hasil kali massa tiap partikel dalam suatu benda tegar dengan kuadrat jaraknya dari sumbu.

Dirumuskan:

I =  m_i . R_i²

Definisi lain dari momen inersia adalah perbandingan gaya resultan (momen) terhadap percepatan sudut.

Dirumuskan:

I =

maka  = I . 

 = I

Karena  = F . R dan  = I . 

maka  F . R = I . 

Percepatan tangensial adalah juga percepatan linier a, yaitu percepatan singgung tepi roda.

a =  . R

 =

persamaan menjadi :

 F . R = I .

Momen inersia harus dinyatakan sebagai hasil kali satuan massa dan kuadrat satuan jarak. Untuk menghitungnya harus diperhatikan bentuk geometri dari benda tegar homogen.

Tabel berikut menunjukkan momen inersia beberapa benda homogen.

Momen inersia berbagai benda yang umum dikenal

I = ½ M (R₁² + R₂²) I = 1/3 MR² I = MR² I = 2/5 MR² I = 2/3 MR²

Contoh:

1. Empat buah partikel seperti ditunjukkan pada gambar dihubungkan oleh sebuah batang kaku ringan yang massanya dapat diabaikan. Tentukan momen inersia sistem partikel terhadap proses:

1. 1. sumbu AA¹,
   2. s
      A B
      1 kg 2 kg 1 kg 3 kg
      2 m 2 m 2 m
      A¹ B¹
      umbu BB¹!

Penyelesaian:

1. I = Σ m_i . R_i²

= m₁ R₁² + m₂ . R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

= 1 . 0² + 2 . 2² + 1 . 4² + 3 . 6²

= 0 + 8 + 16 + 108

I = 132 kg m²

1. I = Σ m_i R_i²

= m₁ R₁² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

= 1 . 4² + 2 . 2² + 1 . 0² + 3 . 2²

= 16 + 8 + 0 + 12

I = 36 kg m²

1. Empat buah partikel massanya 1kg, 2 kg, 2 kg, 3 kg seperti ditunjukkan pada gambar, dihubungkan oleh rangka melingkar ringan jari-jari 2 meter yang massanya dapat diabaikan.

1. Tentukan momen inersia sistem terhadap poros melalui pusat lingkaran dan tegak lurus pada bidang kertas!

A

A’

1. Berapa besar momen gaya harus dikerjakan pada sistem untuk memberikan suatu percepatan  terhadap poros ini ( = 4 )?
2. Ulangi pertanyaan (a) dan (b) untuk poros AA¹!

Penyelesaian:

1. I = Σ m_i R_i² = m₁ R₁² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄ R₄²

= 3 . 2² + 2 . 2² + 1 . 2² + 2 . 2²

= 12 + 8 + 4 + 8

= 32 kg m²

1. τ = I .  = 32 . 4 = 128 N.m
2. I = m₂ R₁² + m₂ R₂² + m₂ R₂² + m₃ R₃² + m₄R₄²

1. Sebuah benda sistem yang terdiri atas dua bola dengan massa masing- masing 5 kg dihubungkan oleh sebuah batang kaku yang panjangnya 1 m. Bola dapat diperlakukan sebagai partikel dan massa batang 2 kg. Tentukan momen inersia sistem terhadap sumbu yang tegak lurus batang dan melalui

1. 1. pusat 0, O
   2. salah satu bola!

L = 1 m